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SOLUTIONS PKKIOUlylES KT ASYMI'TOTIQl KS. STABII.ITÉ. 9.5 auxiliaire un svstcine de la toinie A, B, G étant des constantes positives. Les intégrales de ce système auxi- liaire, qui sont nulles pour x = Xo, sont des fondions entières du para- mètre X, et par suite il en est de même des intégrales du système linéaire proposé. Il en serait évidemment de même si les coefficients du système linéaire étaient des fonctions entières de À (cf. II, n" 3!)0j. SOLUTIONS PKKIODIQUES ET ASYMPTOTIQUES. STAHILITi;. 40 i. Solutions périodiques. — Nous désignerons désormais par t la variable indt'jjendante, (juonpeut regarder comme représentant le temps, pour fixer les idées. Soient (3i) —j = ^i{xx,x.i,...,Xn,t) {i= i, ■?.,..., n) les éipialiuns délinissanl le mouvement d un mobile dans l'espace à n dimensions; les X/ sont supposées des fonctions périodiques de t de période to. Considérons un svstème de solutions correspon- dant aux valeurs initiales x^, ^!I, . . . , ,r)I, pour t = /o^ (^n» en em- ployant le langage géométricpie, la trajectoire issue du j)oint de coordonnées (x", xl, . . . , .r" ). Si pour ^ = /„ -f- (o, ces intégrales reprennent respectivement les valeurs initiales x"^ ..., a", le mobile se retrouve dans sa position initiale au temps tQ-\- iii\ comme d'autre part les équations (3i) ne changent pas (piand on change t en ^ -f- (1), il est évidrni (jue le système dr solutions considéré est périodi(pie. Soil Xi= '^ii l)(i = i, -t, ..., /') ce système de solutions, les l'onclions 'j;, { t), . , . , '^„(t) étant des fonctions pério- dnpies de p(''ii(»dc (•>. Si les seconds nicnibifs des «'(pialions (.^i) dépendent de certains paramètre^ variables, d peut se faire cpie pour des valeurs de ces paramètres \oisinesiles valeurs (pii corres- pondent à la solution périodicjue connui', ri jioiir des xaiciii-i ini- tiales convenablement choisies, le système (3 i) admette de uoun elles solutions p('Tioili([iie-; Noisines de la première. Nous développerons u6 niAPiTRK wiii. — iNrKr.nAi.ES infiniment voi>sines. les raisonnciuonls sur un svstènic de trois équations. Soient -^ =X(j',7. z; (, IX), -^ = \(:r,y, z; (, |a), lin système de trois éf|uations difTérentielles dont les seconds membres sont des fonctions périodiques du temps t de période (o. Supposons (pie, pour jj. := o, ces équations admettent un système de solutions (33) ar = c5,(0, v = 3(^ . . ..), les intégrales des équations (Sa) (pii pour / = o prennent les valeurs 'j, (o) H- a,, «^(o) -h ^ta^ 'f s (0)4-^3 respectivement. Les valeurs de ces intégrales pour t = to sont elles-mêmes des fonctions continues de ai, a.j, aj, a, pourvu cpie les valeurs absolues de ces • pianlités soient suffisamment petites, et si Ton a (35) 6,= «fr/du, a,, aa, at.T, jji) — 9,(0) — a, = o (i=i,2, 3); !<■ mf)l)ile occupera au temps t = (.0 la même posilidii (piau temps / =0. On se trouvera donc exactement dans les mêmes conditions qu'au début du mouvement, et, par suite, on aura une solution périodique des étpiations (Sa) correspondant à ces valeurs de «i, a.j. y.3, 'j.. I>es é(piations (.io ) sont vérifiées pour a = o par des valeurs nulles de a,, a^. a^, ce qui donne la solution périodique su|)posée Cf)nnue f( primi. ( hi pniina affirmer que ces ('(pialions (35) admettent encore des solutions en a,, Xn. y.^ |»our des valeurs de 'X voisines de zéro, si le jacobien des premiers nicmbres par rappf)rl ;i 7.,, y.-,, 'J-w n est pas nul pour |j.= c), a/=(». Posons 0-J.i où I indice /éi'o indupir cpi on a remplacé a,, a_,, 7.3 et ) •r,3(w) CaCw )— I